Nhân biểu đồ Vê-rê-xa-ghin

Mở đầu

Cách tính “nhân biểu đồ” do A. N. Vê-rê-xa-ghin đề xuất vào năm 1925. Đây là cách tính thực hành thay cho việc tính tích phân trong công thức tính chuyển vị.

Nội dung trình bày ở đây mục đích hướng dẫn các bạn thực hành nhân biểu đồ chứ không chứng minh phương pháp, cũng không trình bày chi tiết – đầy đủ, nếu muốn tìm hiểu kỹ có thể đọc trong các tài liệu về Cơ học kết cấu.

Trường hợp hệ chỉ chịu tải trọng, công thức tính chuyển vị sử dụng nhân biểu đồ như sau:
[latex]\Delta_{km}=(M_k)(M_m)+(Q_k)(Q_m)+(N_k)(N_m)[/latex] Trong công thức trên có nhiều thành phần, ta phải nhân Biểu đồ mô men, nhân Biểu đồ lực cắt và nhân Biểu đồ lực dọc. Tuy nhiên, tính toán thực tế ta thường bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt vì vậy chủ yếu là nhân Biểu đồ mô men. Các nội dung dưới đây cũng tập trung vào việc nhân biểu đồ mô men. Việc nhân biểu đồ lực cắt hay nhân biểu đồ lực dọc thực hiện tương tự, chỉ việc thay [latex]1/{EI}[/latex] trong nhân biểu đồ mô men bằng [latex]1/{EA}[/latex] khi nhân biểu đồ lực dọc hoặc bằng [latex]\nu/{GA}[/latex] khi nhân biểu đồ lực cắt.

 

Nhân biểu đồ mô men

Công thức:

[latex](M_1)(M_2)=\frac{1}{EI}*\Omega*y_\Omega[/latex]
  • [latex]\Omega[/latex]: diện tích của biểu đồ thứ nhất;
  • [latex]y_\Omega[/latex]: tung độ thuộc biểu đồ thứ hai, tại vị trí trọng tâm của biểu đồ thứ nhất;
  • EI: thì không cần giải thích nữa.

Công thức viết thì ngắn gọn, đơn giản dễ hiểu như trên, tuy nhiên khi triển khai thực hiện thì có thể nó sẽ dài dòng hơn một chút, vì vậy cần phải đọc thật kỹ các chú ý ở phần dưới đây.

Các chú ý khi nhân biểu đồ

  1. Tính chất giao hoán: [latex](M_1)(M_2)=(M_2)(M_1)[/latex]. Như vậy, thay vì lấy diện tích của biểu đồ thứ nhất và tung độ ở biểu đồ thứ hai, ta có thể làm ngược lại. Tuy nhiên, việc lấy tung độ [latex]y_\Omega[/latex] ở biểu đồ nào còn bị khống chế bởi các chú ý ở phía dưới nữa, phải hết sức cẩn thận.
  2. Đoạn thanh nhân biểu đồ phải có EI=const. Nếu không ta phải chia đoạn thanh thành nhiều đoạn sao cho trên mỗi đoạn EI=const, tiến hành nhân biểu đồ cho từng đoạn nhỏ rồi cộng đại số các kết quả lại.
  3. Kết quả nhân biểu đồ có thể âm hoặc dương. Cụ thể là diện tích [latex]\Omega[/latex] và tung độ [latex]y_\Omega[/latex] có thể âm hoặc dương tùy theo biểu đồ (với mô men thì diện tích, tung độ ở phía dưới đường chuẩn là dương và ngược lại). Như vậy nếu diện tích [latex]\Omega[/latex] & tung độ [latex]y_\Omega[/latex] cùng dấu thì kết quả nhân biểu đồ là dương và ngược lại.
  4. Biểu đồ lấy tung độ [latex]y_\Omega[/latex] phải có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1. Nếu cả 2 biểu đồ đều có bậc từ 2 trở lên thì không nhân được biểu đồ, tuy nhiên, trong tính chuyển vị, biểu đồ [latex](M_k)[/latex] luôn có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1.
  5. Biểu đồ lấy tung độ [latex]y_\Omega[/latex] phải là một đoạn thẳng, không được gián đoạn, không được gãy khúc. Nếu biểu đồ lấy tung độ [latex]y_\Omega[/latex] không phải là một đoạn thẳng liên tục duy nhất, ta phải chia biểu đồ thành nhiều đoạn sao cho trên mỗi đoạn biểu đồ là một đoạn thẳng liên tục, tiến hành nhân biểu đồ cho từng đoạn rồi cộng đại số các kết quả lại.
  6. Nếu biểu đồ lấy diện tích [latex]\Omega[/latex] là hình phức tạp ta có thể chia thành nhiều hình đơn giản, tiến hành nhân biểu đồ cho từng hình rồi cộng đại số các kết quả lại. Hình đơn giản là hình dễ dàng xác định được diện tích và trọng tâm.

Các ví dụ nhân biểu đồ

Ví dụ 1:

Nhân 2 biểu đồ mô men sau:

Ví dụ 1
Ví dụ 1. Nhân biểu đồ mô men

Biểu đồ dạng hình thang, ta có thể chia thành 2 hình đơn giản là 2 hình tam giác hoặc 1 hình tam giác + 1 hình chữ nhật, sau đó nhân từng hình với biểu đồ còn lại, cuối cùng cộng đại số các kết quả lại.

Chia hình phức tạp thành nhiều hình đơn giản
Chia hình phức tạp thành nhiều hình đơn giản

Kết quả tính toán như sau:

[latex](M_1)(M_2)=\frac{1}{EI}(\Omega_1*y_1+\Omega_2*y_2)=\frac{1}{EI}(\frac{al}{2}*(\frac{2}{3}c+\frac{1}{3}d)+\frac{bl}{2}*(\frac{1}{3}c+\frac{2}{3}d))[/latex] [latex]=\frac{1}{EI}(\frac{alc}{3}+\frac{ald}{6}+\frac{blc}{6}+\frac{bld}{3})[/latex]

hoặc:

[latex](M_1)(M_2)=\frac{1}{EI}(\Omega_3*y_3+\Omega_4*y_4)=\frac{1}{EI}(al*\frac{c+d}{2}+\frac{(b-a)l}{2}*(\frac{1}{3}c+\frac{2}{3}d))[/latex] [latex]=\frac{1}{EI}(\frac{alc}{3}+\frac{ald}{6}+\frac{blc}{6}+\frac{bld}{3})[/latex]

Cách tính [latex]y_1, y_2, y_4[/latex] thể hiện trên hình vẽ dưới đây, còn [latex]y_3[/latex] là đường trung bình của hình thang.

Cách tính các tung độ
Cách tính các tung độ

 


Ví dụ 2

Nhân 2 biểu đồ mô men sau:

Ví dụ 2. Nhân biểu đồ mô men
Ví dụ 2. Nhân biểu đồ mô men

Biểu đồ [latex](M_1)[/latex] bậc 2 vì vậy bắt buộc phải lấy diện tích của biểu đồ [latex](M_1)[/latex], không được phép làm ngược lại. Ta chia biểu đồ [latex](M_1)[/latex] thành 3 hình đơn giản như sau:

Chia hình phức tạp thành 3 hình đơn giản
Chia hình phức tạp thành 3 hình đơn giản

Chú ý: [latex]\Omega_1, \Omega_3[/latex] là dương còn [latex]\Omega_2[/latex] là âm. Tổng diện tích:

[latex]\Omega=|\Omega_1|-|\Omega_2|+|\Omega_3|[/latex]

Diện tích từng hình:

[latex]\Omega_1=\frac{1}{2}al[/latex] [latex]\Omega_2=-\frac{1}{2}bl[/latex] [latex]\Omega_3=\frac{2}{3}fl[/latex]

Cách tính [latex]y_1, y_2, y_3[/latex] thể hiện trên hình sau:

Tính các tung độ
Tính các tung độ

Chú ý: Các tung độ [latex]y_1, y_2, y_3[/latex] ở phía trên nên đều âm. Chi tiết như sau:

[latex]y_1=-(\frac{2}{3}c-\frac{1}{3}d)[/latex] [latex]y_2=-(\frac{1}{3}c-\frac{2}{3}d)[/latex] [latex]y_3=-(\frac{1}{2}c-\frac{1}{2}d)[/latex] Từ đó ta có kết quả nhân biểu đồ:
[latex](M_1)(M_2)=(M_2)(M_1)=\frac{1}{EI}(\Omega_1*y_1+\Omega_2*y_2+\Omega_3*y_3)[/latex] [latex]=\frac{1}{EI}[\frac{1}{2}al*(-(\frac{2}{3}c-\frac{1}{3}d))-\frac{1}{2}bl*(-(\frac{1}{3}c-\frac{2}{3}d))+\frac{2}{3}fl*(-(\frac{1}{2}c-\frac{1}{2}d))][/latex]

Tổng kết

Trong quá trình học tại Đại học Xây dựng, phần lớn biểu đồ mô men có bậc từ 2 trở xuống vì vậy để thuận tiện cho việc nhân biểu đồ ta phải nắm được cách tính diện tích của 3 loại hình đơn giản sau: Hình chữ nhật; Hình tam giác; Hình bậc 2 (còn gọi là “mảnh parabol”). Hai hình đầu tiên mọi người đều đã rất quen thuộc, hình còn lại cần nhớ chính là “mảnh parabol” được thể hiện như hình dưới đây:

Diện tích và trọng tâm của “mảnh parabol”

Ngoài 3 hình đơn giản trên không cần phải nhớ thêm hình nào khác (trừ khi nhân biểu đồ bậc 3 trở lên). Đặc biệt chú ý là diện tích có thể âm hoặc dương, tổng diện tích của các hình là “tổng đại số”, có thể là cộng cũng có thể là trừ.

One thought on “Nhân biểu đồ Vê-rê-xa-ghin

  1. Pingback: Tài liệu và BTL cho lớp 62KT2+3 - NUCE.VN

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *